Осторожно, Вектор!

Автор статьи - Чернов Н.С.

При изучении Физики приходится иметь дело с векторными величинами. Знание основ векторной алгебры является не только необходимым условием успешного и оптимального решения практических задач, но подчас и фундаментом для правильного толкования многих физических понятий.

К сожалению (и удивлению) приходится констатировать, что подавляющее большинство учебников и учебных пособий уделяют недостаточно внимания этому важнейшему вопросу, хотя многие книги по физике и начинаются с изучения основ векторной алгебры.

Это проявляется, во-первых, в неполном охвате ее основных положений, во-вторых, в необоснованном усложнении (либо, наоборот, в упрощении) некоторых понятий, и, в-третьих, в непоследовательном применении или вообще не использовании ранее данных понятий. На что, на мой взгляд, следует обратить внимание учителей?

Важнейшим условием успешного преподавания Физики является обязательное предварительное изучение основ векторной алгебры. Без всякого преувеличения следует еще раз подчеркнуть: от этого будет зависеть успех всего дела! Не следует жалеть затраченных на это изучение часов: эти часы в дальнейшем «возвратятся» в результате того, что с применением методов векторного анализа, некоторые вопросы потребуют меньшего времени на их изучение. Экономится также время, затраченное учениками на повторение пройденного материала. Но самое главное заключается в том, что учащиеся осваивают единый мощнейший метод изучения тех разделов и тем всех без исключения разделов физики, где встречаются векторные величины (механика, электростатика, электродинамика, магнетизм).

Какие же основные понятия и действия над векторными величинами учащиеся должны знать перед изучением основного курса? Перечислю их.

  1. Понятие о векторных и скалярных величинах.
  2. Сложение векторов.
  3. Вычитание векторов.
  4. Умножение вектора на скаляр.
  5. Умножение векторов: а) скалярное умножение, б) векторное умножение.
  6. Проекции векторов: а) скалярная проекция, б) векторная проекция.
  7. Нахождение модуля вектора по его проекциям.

Кратко остановимся на каждом из этих пунктов.

Понятие о векторных и скалярных величинах.

Об определении скалярных величин. Часто говорят, что скаляры – это величины, для характеристики которых достаточно указания только числовой меры, то есть это такие свойства изучаемых объектов, которые полностью характеризуются числом (положительным или отрицательным). Возможно, такого определения будет достаточно, учитывая, что определение скалярных величин дается, в основном для их, если так можно сказать, «противопоставления» векторам, для того, чтобы сделать акцент на главном свойстве векторной величины – направлении. Однако преподаватель должен знать, что такое определение скаляров является неполным. Нужно еще указать, что числовое значение скалярной величины не зависит от выбора системы координат и начала отсчета времени.

В соответствии с этим определением не являются скалярными величины, использованные в следующих предложениях: «Санкт-Петербург расположен на 30-м градусе восточной долготы», «Знаменитые «Начала» Ньютон опубликовал в 1687 году», «Сейчас 12 часов по Московскому времени», «Точка А имеет координаты 5 ,0, 0». Действительно, выбрав иное начало отсчета (пулковский меридиан вместо гринвичского, сотворение мира вместо Рождества Христова, среднеевропейское время вместо московского, иную координатную систему, мы получили бы совсем иные числа: ноль градусов, 7195 год (а сам Ньютон получил бы 5675 год) и т. д.

Наоборот, в последующих утверждениях мы имеем дело с типичными скалярами: «Санкт-Петербург на 30 градусов восточнее Лондона», «Сегодня продолжительность дня в Москве составляет 12 часов», «Знаменитые «Начала» Ньютон опубликовал в возрасте 44 лет», «Расстояние между точками А и О равно 5».

Таким образом, всякому скаляру может быть поставлено в соответствие число, но не всякое число может являться скаляром. Другое дело, что при первоначальном изучении векторной алгебры на эти "тонкости" может быть и не следует заострять внимание учеников, но преподаватель это знать должен.

Об определении векторных величин. Вектором называют величину, характеризуемую числовым значением, направлением в пространстве и складывающейся с другой, себе подобной величиной геометрически.

Следует обязательно подчеркнуть, что последняя часть определения является не свойством вектора, что нередко утверждается, но именно неотъемлемой частью определения. Два первых требования необходимы, но недостаточны. В незнании этого заложен источник многочисленных ошибок.

Рассмотрим такую физическую величину как сила тока. Эта величина характеризуется, как известно, числом ( I = Δq/Δt) и направлением (от плюса к минусу). Однако известно, что токи в точке, где цепь разветвляется, складываются алгебраически, а не геометрически (первый закон Кирхгофа). Вот и получается, что сила тока, оказывающаяся вектором по «урезанному» определению, в действительности является скаляром. Поэтому следует избегать таких неточных, а, значит, и неправильных определений.

Вообще говоря, определения не могут быть правильными или неправильными, точными или неточными (запрещается только их внутренняя противоречивость). Кто, например, может запретить автору любой книги считать, что скаляр – это просто любое число, а вектор – это величина, характеризующаяся числом и направлением? Никто не может! Это – его право. Точно также автору никто не может запретить понимать под числом пи не 3,14…, а, например, 8,395 или измерять расстояние не в метрах, а в попугаях. Находясь в этой своей, если так можно сказать, «понятийной системе координат», автор может весьма комфортно себя чувствовать, делая одно открытие за другим. Но при общении с другими исследователями, находящимися в другой «понятийной системе», ему постоянно придется объяснять, что именно он понимает под тем или иным определением (термином, буквой…).

Даже при обозначении какой-то физической величины или действия над ней многие стараются использовать такие символы (буквы, знаки умножения, сложения, интегрирования и т.д.), которые «приняты на вооружение» большинством физиков. Так, общепринято обозначать заряд буквой q, массу – буквой m, и т. д. Даже в таких «мелочах», когда вместо общепринятого обозначения площади буквой S, некоторые авторы используют буквы A или F (а такое встречается в книгах по технической механике), многие испытывают психологический дискомфорт. А чего уж говорить, если речь идет об определении каких-то категорий, процессов… Тут и запутаться недолго. В общем, не такая уж это и безобидная вещь – пренебрежение общепринятыми соглашениями. Попробуйте, эксперимента ради, предложить ученикам измерять скорость в попугаях, деленных на секунду или под пи понимать число 8,395. Я догадываюсь, какова будет их реакция.

Во избежание ничем не оправданной путаницы, преподаватель должен жестко подходить к тому, что написано на «ярлыке», который мы наклеиваем на то или иное свойство изучаемого объекта. Все сказанное относится и к определению скалярных и векторных величин. Для них разработан соответствующий математический аппарат, им можно сопоставить конкретные физические свойства. Конечно, с течением времени некоторые понятия корректируются, уточняются, но всегда в рамках общих соглашений. Однако на сегодняшний день все определения, отличающиеся по содержанию от общепринятых, будут являться неточными и неверными.

Что касается обозначения векторных величин, то следует предостеречь учеников от такого их обозначения, когда над буквой вектора ставится черточка. И, хотя такой символ векторной величины давно ушел в прошлое, все-таки иногда его можно еще встретить. Черточкой над буквой принято обозначать средние значения величин, а для обозначения векторов применяется только стрелка над буквой (речь, конечно, идет о рукописном варианте, в печатном варианте буквы, обозначающие векторы имеют жирный шрифт).

Сложение векторов. Основным правилом сложения векторных величин является «правило многоугольника». На него и надо сделать акцент, а не на «правило параллелограмма». Причем следует подчеркнуть, что слагаемые векторы могут быть как угодно ориентированы в пространстве. При таком подходе теряет смысл раздельно излагать, например, плоскую и пространственную системы сил. Кроме того, следует внушить студентам, что изучаемые действия над векторами – это действия над абстрактными образами (грубо говоря, просто над стрелками). В векторной алгебре никакой вектор не наделяется никаким физическим содержанием. Но студенты также должны понимать, что эти абстрактные образы являются обобщением конкретных свойств многих физических объектов. Изучив действия над математическими образами, учащимся не составит никакого труда перенести эти действия на реальные свойства: скорости, силы, напряженности полей и т. д.

После такого подхода к изучению действий над векторами иногда приходится слышать от самих учеников такой, например, вопрос: «Зачем же тогда в учебниках каждый раз заново изучается операция сложения (вычитания, проектирования…) скоростей, сил, расположенных на плоскости, сил, расположенных в пространстве, сложение моментов и т. д.), если все они складываются по одним и тем же правилам, разработанным для «математических» векторов?». Вот и подумайте, как отвечать на подобные справедливые вопросы, а заодно и над тем, сколько часов в дальнейшем сэкономит такая изначальная «массированная векторная подготовка», и на сколько стали бы тоньше учебники, если их как следует «выжать».

При изучении именно сложения векторов следует особо подчеркнуть, что в основе изучаемой науки лежит эксперимент. Отнести ту или иную физическую величину к скалярам или векторам можно только на основе экспериментов (сложение электрических токов, о чем я уже говорил – тому пример). Распространенные суждения типа «Силы (ускорения, скорости и т. д.) складываются геометрически, так как это – векторы» принципиально ошибочны. Причина и следствие здесь поменялись местами, телега поставлена впереди лошади. Следует говорить: «Установлено опытом, что сила характеризуется числовым значением, направлением и складывается с другой силой по правилу параллелограмма. Следовательно, сила – вектор и, описывая силы, можно использовать разработанный для векторов математический аппарат».

Вычитание векторов. Здесь вначале надо дать определение обратного (противоположного) вектора, а затем просто заменить операцию вычитания операцией сложения. При таком подходе обычно у учащихся не возникает никаких вопросов. Но именно при изучении вычитания векторов самое время будет сказать ученикам о том, что не бывает ни положительных, ни отрицательных векторов. Знак же «минус» перед символическом обозначении вектора указывает только на то, что речь идет об обратном векторе, но вовсе не о том, что бывают отрицательные (а, значит, и положительные) векторы.

Векторы в отличие от скаляров бессмысленно также сравнивать между собой, используя понятия «больше» или «меньше», то есть записи: а < b или a > b лишены смысла (к модулям векторов это, конечно, не относится). Надо всегда помнить, что вектор – сложный объект, который одновременно характеризуется и величиной и направлением. Поэтому, если кто-то надумает сравнивать между собой векторы по признаку «больше – меньше», то тогда ему придется сравнивать по этому признаку не только модули векторов, но и их направления, а это, согласитесь, бессмысленно. А вот равными между собой векторы быть могут. Это – такие векторы, которые имеют одинаковые модули и одинаковые направления.

Умножение вектора на скаляр. В большинстве учебников дается следующее определение этой операции: «При умножении вектора а на скаляр k получается новый вектор kа, который имеет модуль в |k| раз больший модуля данного вектора. Направлен вектор kа в сторону вектора а, если k > 0 и в противоположную сторону, если k < 0». Очевидно, следует говорить, что модуль нового вектора не в | k | раз больше, а в | k | раз отличается от модуля исходного вектора. Думаю, что это уточнение пояснений не требует.

Скалярное умножение векторов. Эта операция встречается при введении понятия работы, потока вектора, при решении задач. Обычно трудностей в понимании этого действия не вызывает. Следует только обратить внимание учеников на обозначение этой операции (точка, но не косой крест, либо круглые скобки, в которые помещаются перемножаемые векторы). Полезно показать, что скалярное произведение вектора самого на себя даст квадрат его модуля (это пригодится, когда, например, будет рассматриваться вопрос о кинетической энергии).

Векторное произведение двух векторов. На эту операцию следует обратить особое внимание, во-первых, в силу ее важности при изучении некоторых понятий механики и электротехники, а, во-вторых, в силу некоторых затруднений ее усвоения учениками. Видимо, последнее соображение и заставляет авторов некоторых учебников закрывать глаза на ее применение, подчас, несмотря на то, что в начале курса эта операция иногда рассматривается. В результате некоторые важнейшие физические понятия извращаются до неузнаваемости. Судите сами.

Фундаментальное понятие момента силы относительно точки во всех школьных учебниках, а также практически во всех учебниках для техникумов и колледжей трактуется следующим образом (возможны несущественные отличия). «Моментом силы относительно точки называется взятое со знаком плюс или минус произведение модуля силы F на кратчайшее расстояние L от точки до линии действия силы, то есть М = ± FL».

Посмотрите на эту формулу и задумайтесь, что же это за величина такая момент силы: вектор это или скаляр? То, что автор такой записи не считает это понятие вектором сразу видно хотя бы по обозначению этой величины (над символом нет стрелки, и он не выделен жирным шрифтом). Символ ± тоже говорит не в пользу векторного характера момента силы (векторы не бывают ни положительными, ни отрицательными), да и произведение модуля силы на расстояние (сугубо скалярные величины) тем более не позволяет считать момент силы вектором.

Думаете, момент силы – это скаляр? Вынужден разочаровать: здесь положение ничем не лучше, чем с векторным статусом этого понятия: уж очень знак минус смущает. Действительно, откуда он мог взяться, если перемножаются сугубо положительные величины? Так что же это за величина-то такая? Это знают только авторы, предлагающие такое определение момента (да и то сомневаюсь в их толковом ответе). И все потому, что они просто не поверили в возможность ученика понять операцию векторного произведения двух векторов в применении, как к математическим образам, так и к физическим понятиям. Зато эти же авторы нисколько не стесняются проявить свои математические познания, предлагая, например, бедным студентам техникумов и колледжей рассчитывать перемещения сечений балок с помощью так «необходимого» студентам интеграла Мора, отечески «успокаивая» их тем, что это проще, чем решать двойные интегралы, формулы которых зачем-то приводятся. Кому нужна эта математическая бахрома, если вы не можете дать четкого и толкового определения, в общем-то, несложного, но чрезвычайно важного физического понятия?

Вернемся к моменту силы относительно точки. Конечно, это – вектор, и об этом все давным-давно знают. И равен этот вектор векторному произведению радиус-вектора точки приложения силы относительно полюса на вектор силы, то есть M = r x F. И направление этого вектора легко определяется по известному (даже ученикам) правилу буравчика. А вот, что касается плюса или минуса, то это уже зависит от направления оси, на которую я буду проектировать вектор M. И речь тут уже идет, как вы понимаете, не о моменте силы и не о его модуле, а о проекции этого вектора, и знаки эти зависят только от моей воли, а не от того, как уверяют авторы, поворачивает ли момент наше тело по или против хода часовой стрелки, поскольку направление оси, на которую проектируется вектор момента, я выбираю по своей прихоти.

Не забывайте также, что «намудрив» с понятием момента силы (хотели, как лучше…), авторам уже ничего не остается, как нести такую же ересь и в отношении момента пары сил. А ведь ученикам еще и задачи порешать не мешало бы для закрепления данного понятия. Как же их решать, если само понятие момента, данное этими авторами, вовсе этим понятием не является?

Вот и получается, что лучше уж совсем ничего не знать о моменте силы, чем иметь такие знания.

Не лучшим образом обстоит дело и с понятием угловой скорости, которая тоже «как на грех» является вектором. И связь между тремя векторами: вектором линейной скорости v, вектором угловой скорости ω и радиус-вектором r вращающейся точки тоже определяется правилом векторного произведения, а именно v = ω x r.

Кстати, многие авторы умалчивают о том, что угловая скорость – вектор тоже, видимо, по причине их беспокойства непонятливостью учеников. Ведь здесь же надо им как-то объяснить, почему сами углы векторами не являются, а вот их дифференциалы – почему-то векторы. Куда проще написать, что ω = φ/t, чем ω = dφ/dt. Но ведь всегда может найтись (и слава Богу!) какой-нибудь любознательный ученик, который возьмет да и спросит: «Линейная скорость – это вектор (Вы нам сами об этом говорили), а как насчет угловой скорости? Тоже ведь скорость как-никак…». И ведь бывает, спрашивают!

Ну, и, конечно, следует сказать учащимся, как обозначается векторное произведение: либо косым крестом, в отличие от точки, как в случае скалярного произведения, либо перемножаемые векторы помещаются в квадратные скобки. Одновременное применение и креста и квадратных скобок, то есть [axb] используется крайне редко.

Скалярная проекция вектора на ось. Необходимость изучения этой операции очевидна. Дело в том, что некоторые физические законы имеют векторный характер, а при решении тех или иных практических задач часто бывает необходимо получить конкретное число. Переход от векторов к их модулям без проектирования и нахождения проекций в большинстве случаев невозможен. Поэтому студенты должны не только знать, что такое проекция вектора, но и уметь ее находить.

Учащиеся также должны понимать, что, когда говорят «проекция вектора», имеют в виду скалярную проекцию. Слово «скалярная» в определении обычно опускается. И в то же время, эта проекция скаляром не является (хотя и называется скалярной проекцией), несмотря на утверждения многих авторов, что проекция вектора – это скаляр. Дело в том, что эта проекция зависит от выбора системы координат, и в разных системах проекции одного и того же вектора будут разными. Скаляр же – величина инвариантная по отношению к любым координатным системам.

О проектировании векторов говорится во всех учебниках, без этого просто невозможно изучение предмета. Другое дело, что большинство авторов идут по самому неоптимальному пути: проекции вводятся для конкретных физических образов (скоростей, сил и т. д.), вместо того, чтобы в самом начале курса рассмотреть вектор (и все, что с ним связано) как математический образ. Если этого не сделать, то студенты оказываются в положении, когда они «за деревьями не видят леса». Однако мы об этом уже говорили. Сейчас же я покажу, как некоторые авторы используют понятие проекции вектора на ось при изучении некоторых вопросов механики.

Приведу фрагмент изложения вопроса о растяжении и сжатии, взятый из одного из учебников по технической механике для техникумов. «…целесообразно договориться о правиле знаков для проекций внешних сил при определении нормальной силы в сечении: проекции внешних сил, направленных от сечения, положительны и, наоборот, проекции внешних сил, направленных к сечению, отрицательны». Авторы считают этот договор настолько важным, что сочли необходимым выделить курсивом некоторые слова и фразы своего предложения.

О чем, собственно, договор? А договор, по сути, о том, чтобы поставить жирный крест на понятии проекции вектора и его правильном использовании. Действительно, даже школьнику понятно, что бессмысленно говорить о проекции, не определив ось, на которую это проектирование выполняется. Авторы же этим грубо пренебрегают. Далее. Рассматриваемые авторами силы, направленные «от сечения», действуют в противоположных направлениях, поэтому они никак не могут иметь один и тот же знак своих проекций. То же самое касается и сил, направленных «к сечению».

Зачем выдумывать какое-то «правило знаков», когда можно (и нужно!) просто-напросто выбрать любую ось и спроектировать на нее все необходимые силы? Получается, что вместо стройного и последовательного изложения курса, перед нами предстает мозаичная картина несвязанных между собой «правил», ничего не дающих, кроме путаницы в головах учащихся.

Векторная проекция вектора на ось. Введение этого понятия связано с необходимостью знания студентами основной формулы векторной алгебры, которая, в свою очередь, используется как при решении задач, так и при изложении некоторых тем. Кроме того, векторная проекция используется и при разложении вектора на составляющие.

Проще всего ввести это понятие как произведение скалярной проекции вектора на орт соответствующей оси. Обозначение векторной проекции такое же, как и скалярной, но с «векторной атрибутикой». Например, если дан вектор а, то его скалярная проекция, например, на ось Х обозначается как ax, а векторная будет иметь обозначение ax (в рукописном варианте, как известно, вместо жирного написания буквы над ней ставится стрелка).

Следует приучать учеников к корректному использованию обозначений, связанных с векторными величинами. В частности, нужно обратить их внимание на традиционно существующую «чехарду» в обозначениях векторов, их составляющих и модулей, когда речь идет о нормальных и тангенциальных ускорениях. В литературе нередко и сам вектор нормального ускорения, и его проекция на нормаль, и модуль обозначаются одним и тем же символом аn. Аналогично и для касательного ускорения. Студенты должны знать, что:

aτ - это вектор касательного ускорения,

an - это вектор нормального ускорения.

aτ и an являются векторными проекциями полного ускорения а на касательную ось и ось нормали соответственно,

aτ - это проекция (скалярная!) касательного ускорения на касательную ось,

an - это проекция (скалярная!) нормального ускорения на ось нормали,

| aτ |- это модуль вектора касательного ускорения,

| an | - это модуль вектора нормального ускорения.

Нахождение модуля вектора по его проекциям. С точки зрения математики, тут все просто: модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его проекций. По сути – это обычная теорема Пифагора. Необходимость в применении этой формулы возникает всегда, когда в задаче нужно найти модуль какой-то векторной величины, например, силы. По ходу решения задачи находятся проекции, а потом и сам модуль. Здесь важно приучить студентов неукоснительно применять данную формулу, даже, если вектор имеет одну составляющую с положительной проекцией на выбранную ось.
Такая «дотошность» приучит студентов к математической и физической строгости, к пониманию того, что никаких «мелочей» и никакого «заметания мусора под ковер» в науке нет и быть не должно.

Все изложенное, конечно, не является чем-то новым для преподавателей тех дисциплин, где встречаются векторные величины. Математическую сторону поднятых вопросов знают преподаватели математики.

Целью же этой статьи является привлечение учителей к критическому анализу учебников и пособий с точки зрения поднятых вопросов и к пониманию необходимости единого подхода в применении методов векторного анализа. А это возможно при углублении межпредметных связей, на что должны обратить внимание преподаватели математики и физики конкретного учебного заведения.

Чернов Николай Сергеевич

Пожалуйста, не забудьте поделиться о прочитанном со своими друзьями в соц. сетях (см. кнопки ниже).