Формулы динамики

 

На этой странице будут приведены основные формулы, применимые для динамики материальной точки, системы материальных точек, твердого тела и упругого тела. Будут также даны определения некоторых категорий динамики. Информация носит справочный характер и не является учебным материалом.


Материальная точка (точечная масса) - это геометрическая точка, наделенная массой.

Твердое тело – это совокупность материальных точек, расстояние между которыми все время остается постоянным.

Упругое тело - это тело, в котором при его деформации возникают упругие силы.

Первый закон Ньютона. В инерциальных системах тело сохраняет состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения до тех пор, пока на него либо не подействуют другие тела, либо, если подействуют, то так, что эти действия компенсируют друг друга.

Второй закон Ньютона. В инерциальных системах отсчета величина ускорения, получаемого телом в результате некомпенсированного действия на него других тел, прямо пропорционально величине результирующей силы и обратно пропорционально массе тела, на которое произведено это некомпенсированное воздействие. Направление полученного ускорения совпадает с направлением результирующей силы. Математически это утверждение может быть записано следующим образом:

а = F/m,

где a - ускорение тела, m - масса тела, F - результирующая сила, действующая на данное тело со стороны других тел. Так, если рассматриваемое тело взаимодействует с телами 1, 2, 3 и т.д., то на него со стороны этих тел будут действовать силы F1, F2, F3, и т.д. В этом случае

F = F1 + F2 + F3 + и т.д.

Третий закон Ньютона. Если F1,2 - сила, действующая на первое тело со стороны второго, а F2,1 - сила, действующая на второе тело со стороны первого, то эти силы равны по величине и направлены в противоположные стороны. Математически это записывается так:

F1,2 = − F2,1.

Следует иметь в виду, что эти законы строго соблюдаются только для материальных точек (так же, как и на странице "Кинематика", я, для удобства изложения, иногда буду называть материальную точку телом, объектом, частицей. Так что пусть вас не смущает, что в вышеприведенных законах фигурирует тело, речь, конечно, идет о точечных массах).

Закон Всемирного тяготения:

F = γ·m1m2/r2,

где F - модуль силы, с которой притягиваются друг к другу тела с массами m1 и m2,

γ = 6,67259·10−11m3/кг·с2. Эта величина называется гравитационной постоянной. Закон Всемирного тяготения строго соблюдаются тоже для материальных точек.

Количеством движения (импульсом) p тела называется произведение массы m тела на его скорость v, то есть

p = mv.

Импульс - это вектор! Это понятие применимо как для материальной точки, так и для тела, движущегося поступательно (если тело движется не поступательно, а как-то иначе, то понятие скорости тела как такового, а, значит и его импульса, не существует).

Количеством движения системы материальных точек или системы тел, движущихся поступательно, называется векторная сумма импульсов всех объектов, составляющих систему. Так, если система состоит из объектов с массами m1, m2, m3 и т.д., имеющими скорости соответственно v1, v2, v3 и т.д., то импульс системы

P = m1v1 + m2v2 + m3v3 + и т.д.

Элементарный импульс силы (не путать с импульсом, то есть количеством движения тела) - это произведение силы F на бесконечно малый промежуток времени dt ее действия, то есть F·dt. Специального обозначения импульс силы не имеет. В течение промежутка dt сила практически остается постоянной.

Закон изменения импульса материальной точки (тела) в дифференциальной форме:

dp = F·dt,

то есть бесконечно малое изменение импульса материальной точки (или поступательно движущегося тела) равно элементарному импульсу действующей на частицу (тело) силы.

Закон сохранения импульса материальной точки (тела):

dp = 0 или p = const,

то есть импульс частицы (или поступательно движущегося тела) во время движения не меняется. Это возможно, если на частицу (тело) не действуют извне никакие силы (или действуют, но их равнодействующая равна нулю).

Закон изменения импульса системы материальных точек (тел, движущихся поступательно) в дифференциальной форме:

dР = F(e)·dt,

где F(e) - результирующая внешняя сила, действующая на систему.

Закон сохранения импульса системы материальных точек (тел, движущихся поступательно):

dР = 0 или Р = const.

Это возможно, если F(e) = 0. Система, для которой F(e) = 0 называется замкнутой или изолированной.

Элементарная работа dA силы F на бесконечно малом перемещении dr - это скалярное произведение силы на бесконечно малое перемещение, то есть

dA = F · dr.

На этом перемещении сила практически не изменяется.

Работа силы тяжести. При падении тела с высоты h1 до высоты h2

A = mg(h1 − h2). Работа в этом случае положительна, так как h1 больше h2. При подъеме тела с высоты h2 до высоты h1

A = mg(h2 − h1).

В этом случае работа отрицательна, так как h2 меньше h1. В этих формулах m - масса тела, g - ускорение силы тяжести (ускорение свободного падения).

Работа гравитационной силы при уменьшении расстояния между двумя взаимодействующими объектами от r1 до r2:

А = γMm (1/r2 − 1/r1),

где γ - гравитационная постоянная, M и m - массы объектов. Формула справедлива для точечных масс.

Кинетическая энергия Т материальной точки:

T = mv2/2.

Потенциальная энергия U гравитационного взаимодействия двух частиц массами m и M, находящимися на расстоянии r друг от друга:

U = − γMm/r.

Полная механическая энергия E частицы:

E = T + U.

Закон изменения кинетической энергии частицы в дифференциальной форме:

dA = dT ,

то есть элементарная работа силы, действующей на материальную точку, равна элементарному (бесконечно малому) изменению ее кинетической энергии.

Закон сохранения кинетической энергии частицы в дифференциальной форме:

dЕ = 0 или Е = const,

Это возможно, если на частицу не действуют никакие силы, либо действуют, но их суммарная работа равна нулю.

Закон изменения полной механической энергии частицы в дифференциальной форме:

dE = dAстор,

то есть бесконечно малое изменение полной механической энергии частицы равно элементарной работе результирующей всех сторонних сил, действующих на частицу.

Кинетической энергией Т системы материальных точек называется величина, равная сумме кинетических энергий всех элементов системы, то есть

Т = T 1 + T 2 + T 3 + ….. + T n.

Закон изменения кинетической энергии системы частиц в дифференциальной форме:

dT = dA,

то есть бесконечно малое изменение кинетической энергии системы частиц равно элементарной работе всех (!) сил, действующих на все элементы системы при элементарном перемещении этих элементов.

Полная потенциальная энергия U незамкнутой системы (или просто, потенциальная энергия незамкнутой системы):

U = Uвнутр + Uвнешн, где

Uвнутр - внутренняя (или собственная) потенциальная энергия системы. При введении этого понятия игнорируются взаимодействия элементов системы с внешними объектами, то есть система рассматривается как изолированная. Следует учесть, что собственная потенциальная энергия системы - величина неаддитивная, то есть она в общем случае не равна сумме собственных потенциальных энергий частей системы, так как следует учесть еще потенциальную энергию взаимодействия Uвз отдельных частей системы, то есть

Uвнутр = ΣUn + Uвз, где

Un - собственная потенциальная энергия n - й части системы.

Uвнешн - суммарная потенциальная энергия элементов системы в общем поле всех внешних потенциальных сил.

Полная механическая энергия Е незамкнутой системы материальных точек – это сумма потенциальной энергии U системы и общей кинетической энергии T всех элементов системы в данный момент времени, то есть

E = U + T.

Закон изменения полной механической энергии системы в интегральной форме. Изменение полной механической энергии системы ΔE материальных точек равно суммарной работе Aнепот, произведенной над системой всеми непотенциальными силами (как внутренними, так и внешними), то есть
ΔE = Aнепот.

Закон сохранения полной механической энергии системы материальных точек
в интегральной форме. Полная механическая энергия любой системы материальных точек (как замкнутой, так и незамкнутой) сохраняется, если суммарная работа, произведенной над системой всеми непотенциальными силами, равна нулю, то есть ΔЕ = 0, если Aнепот = 0.

Момент M силы F относительно точки О :

M = [ r,F ],

где r - радиус-вектор, проведенный из точки О в точку приложения силы F.

Рисунок по динамике, поясняющий понятие момента силы

Модуль момента силы определяется выражением:

M = r·F·Sin α,

где r·Sin α = d - плечо силы (перпендикуляр из точки О на линию действия силы).

Если что-то непонятно, читайте электронную книгу, там все подробно и доходчиво изложено.

Пожалуйста, не забудьте поделиться о прочитанном со своими друзьями в соц. сетях (см. кнопки ниже).

 

x