Скаляры. Векторы
При изучении реального мира приходится сталкиваться с такими свойствами исследуемых объектов, которые вполне характеризуются своей числовой мерой (объём тела, его масса, электрический заряд и т.д.). Эти характеристики объектов называются скалярными величинами или просто – скаляры. Они записываются либо буквами обычного шрифта, либо цифрами (а, б, t, G, 5, −7….). Скаляры могут быть положительными и отрицательными. Математические операции над скалярами выполняются по правилам арифметики и элементарной алгебры. В то же время некоторые объекты изучения могут обладать такими свойствами, для полного описания которых знание только числовой меры оказывается недостаточным, необходимо ещё охарактеризовать эти свойства направлением в пространстве. Такие свойства характеризуются величинами, которые называются векторы. Примерами векторных величин являются скорость, ускорение, сила, количество движения и т.д. Векторы, в отличие от скаляров, обозначаются буквами жирного шрифта:
a, b, g, F, С ….
Нередко (а в рукописном варианте практически всегда) векторы обозначают буквой обычного (нежирного) шрифта, но со стрелкой над ней:
.
Обращаю Ваше внимание, наверху буквы должна стоять именно стрелка, а не черточка. Это когда-то раньше использовали черточку в обозначении вектора. Сейчас черточка над буквой обозначает среднюю величину, но не вектор!
Кроме того, часто вектор обозначают парой букв (обычно заглавных), причём первая буква обозначает начало вектора, а вторая - его конец (рис. 1).
Рис. 1
Модуль вектора, то есть длину направленного прямолинейного отрезка, обозначают теми же буквами, как и сам вектор, но в обычном (не жирном) написании и без стрелки над ними, либо точно также как и вектор (то есть жирным шрифтом или обычным, но со стрелкой), но тогда обозначение вектора заключается в вертикальные черточки.
Например, если речь идет о векторе а (как Вы уже знаете, я мог бы написать 
), то его модуль следует обозначать как а, или | а |, или ||. Для вектора АВ (или 
) его модуль обозначается как АВ, или | АВ |, или | |.
В тексте данного сайта векторные величины будут обозначаться жирным шрифтом, а модуль вектора - обычным. На рисунках векторы будем обозначать либо жирными буквами, либо обычными (нежирными), но со стрелкой наверху.
Математические операции над векторами отличаются от таковых над скалярами. Изучение этих операций и составляет предмет векторной алгебры.
При этом следует знать, что векторы в отличие от скаляров бессмысленно сравнивать между собой, используя понятия «больше» или «меньше», то есть записи: а > b или a < b лишены смысла (к модулям векторов это, конечно, не относится). Надо всегда помнить, что вектор – сложный объект, который одновременно характеризуется и величиной и направлением. Поэтому, если Вы надумаете сравнивать между собой векторы по признаку «больше – меньше», то тогда Вам придется сравнивать по этому признаку не только модули векторов, но и их направления, а это, согласитесь, бессмысленно.
Не бывает также положительных и отрицательных векторов. А вот равными между собой векторы быть могут. Это когда, например, a и b имеют одинаковые модули и направлены в одну сторону. В этом случае справедлива запись
a = b. Надо также иметь в виду, что перед символом вектора может стоять знак минус, например, − с, однако, этот знак символически указывает на то, что вектор − с имеет такой же модуль, как и вектор с, но направлен в противоположную сторону (рис. 2), но вовсе не говорит о том, что существуют положительные и отрицательные векторы.
Рис. 2
Вектор − с называют противоположным (или обратным) вектору с.
В векторной алгебре отвлекаются от конкретного смысла изображаемой вектором физической величины и от точки её приложения. Здесь мы интересуемся только длиной и направлением векторов.
В физике же каждый вектор наполнен конкретным содержанием и при сравнении однотипных векторов (например, сил) могут иметь существенное значение и точки их приложения.
Является интересующая нас физическая величина вектором или скаляром определяется, в конечном счете, опытом.
В следующих пунктах бокового меню рассматриваются основные операции над векторными величинами.
Пожалуйста, не забудьте поделиться о прочитанном со своими друзьями в соц. сетях (см. кнопки ниже).