Векторы. Задачи. Найти скалярное и векторное произведения координатных ортов
Задача 5. Найти скалярное и векторное произведения координатных ортов.
Вначале рассмотрим скалярное произведение.
Пусть орты ориентированы друг относительно друга так, как показано на рисунке 21, слева.
Рис. 21
Координатные орты i, j, k имеют модули, равные единице. Скалярный квадрат вектора, как было показано в задаче 2, равен квадрату его модулябя, поэтому
i · i = i² = 1, j · j = j² = 1, k · k = k² = 1. Далее, координатные орты взаимно перпендикулярны, а скалярное произведение перпендикулярных векторов, как было показано в задаче 3, равно нулю, поэтому
i · j = j · i = 0, j · k = k · j = 0, k · i = i · k = 0.
Итак, скалярное произведение одноименных координатных ортов равно единице, а разноименных - нулю. То же самое мы получим и для ориентации ортов, представленных на рисунке 21, справа.
Перейдем к векторному произведению.
Векторное произведение вектора самого на себя равно нулю (см. задачу 2). Поэтому
i × i = 0, j × j = 0, k × k = 0, то есть векторное произведение одноименных ортов равно нулю.
Теперь рассмотрим векторное произведение разноименных векторов. Обращаю Ваше внимание на то, что мы рассматриваем такую ориентацию ортов, которая представлена на рисунке 21,слева.
В этом случае вектор i × j будет направлен одинаково с вектором k , а вектор j × i – в противоположную сторону. Так как, кроме того,
| i × j | = | j × i | = 1·1· Sin 900 = 1, то мы получим
i × j = k, j × i = − k. Аналогично, вычислив произведения двух разноименных ортов, получим следующее:
i × j = k, j × i = − k ,
j × k = i, k × j = − i,
k × i = j , i × k = − j .
Однако ориентация ортов может быть и такой, как показано на рисунке 21, справа. Несложно вычислить, что получится в этом случае. Я не буду этого делать, потренируйтесь сами.
Замечу лишь, что координатные оси X , Y , Z , связанные с тройками ортов, представленных на рисунках 21, слева и 21, справа, будут представлять собой разные системы координат. Та система, которая представлена ортами рисунка 21, слева, называется правовинтовой системой координат, а другая (рис. 21, справа) - левовинтовой. В физике все изучаемые процессы рассматриваются только в правовинтовой системе. Просто так принято.
Пожалуйста, не забудьте поделиться о прочитанном со своими друзьями в соц. сетях (см. кнопки ниже).