Векторы. Задачи. Равен ли модуль приращения вектора приращению модуля вектора

 

Задача 6. Равен ли модуль приращения вектора приращению модуля вектора? Показать, что
r · dr = r · dr.

Запутанно? Ничего, сейчас разберемся. Пусть дан изменяющийся со временем вектор r. С течением времени он изменился на Δ r, то есть Δ r - это приращение вектора r и тоже является вектором. Его модуль равен | Δ r |. Еще раз, | Δ r | - это модуль приращения вектора r. Далее, вектор r кроме направления, характеризуется еще и модулем. Модуль вектора r равен r. При изменении вектора может изменяться и его модуль. Изменение (приращение) модуля вектора r равно Δ r.

Так вот, равен ли модуль приращения вектора | Δ r | приращению модуля вектора Δ r?

Оказывается, что в общем случае | Δ r | ≠ Δ r. Представим себе, что вектор r вращается против хода часовой стрелки по окружности, центром которой является начало вектора (рис. 22). При этом величина вектора не меняется (его модуль является радиусом окружности), то есть

r = const, следовательно, изменение модуля вектора равно нулю (Δ r = 0). В то же время, при определенном положении вектора (на рисунке этому положению соответствует вектор r1) его изменение не равно нулю, то есть Δ r ≠ 0.
Следовательно, и | Δ r | ≠ 0.

Задачи на векторы. Задача 06. Фото

Рис. 22

Однако в некоторых частных случаях возможна ситуация, когда | Δ r | = Δ r. Например, в рассмотренном примере, вектор r при вращении занимает то же положение, в котором он был в начальный момент времени. В этом случае изменения вектора не произошло, то есть Δr = 0. Тогда | Δ r | = Δ r = 0. Рассмотрим еще пример.

Вектор b изменился по величине и стал вектором b1. Изменения направления вектора не произошло (смотри рис. 23). В этом случае | Δ b | = Δ b.

Задачи на векторы. Задача 06. Фото

Рис. 23

И еще. Пусть дан вектор а. Определим приращение, модуль приращения вектора и приращение модуля этого вектора при изменении его направления на противоположное (рис. 24).

Задачи на векторы. Задача 06. Фото

Рис. 24

Чтобы найти приращение вектора надо из его конечного значения вычесть начальное. Начальное значение вектора равно а, конечное его значение равно − а. Тогда изменение вектора Δа = (− а)а = − 2а. Модуль изменения вектора, очевидно, равен 2а, то есть | Δа | = 2а.

Найдем изменение модуля вектора: Δа = | − а| − | а | = а – а = 0. Этого и следовало ожидать, ведь изменилось только направление вектора, а модуль остался прежним, его изменения не произошло.

А теперь покажем, что скалярное произведение вектора на его бесконечно малое изменение равно произведению модуля вектора на бесконечно малое изменение этого модуля.

Имеем вектор r, его бесконечно малое изменение будет dr. Найдем скалярное произведение этих двух векторов.

r · dr = r · dr · Cos α, где r - модуль вектора r, dr - модуль вектора dr, α - угол между направлениями векторов r и dr.

Присмотримся внимательнее к произведению dr · Cos α. Из рис. 25 видно, что
dr · Cos α = АВ. Но при бесконечно малом изменении вектора r АВ практически равно АС. Величина же АС есть ни что иное, как изменение длины вектора r.

Задачи на векторы. Задача 06. Фото

Рис. 25

Как обозначают бесконечно малое изменение модуля вектора? Ее обозначают тоже dr. Вот так! И модуль бесконечно малого изменения вектора обозначают dr, и бесконечно малое изменение модуля вектора r тоже обозначают dr! Ничего не поделаешь: так уж сложилось в литературе. Что нужно для того, чтобы не запутаться? Во-первых, знать векторную алгебру. Во-вторых, просто быть внимательным при работе с формулами. Кстати, добросовестные авторы всегда указывают, что в той или иной формуле следует понимать под dr.

Итак, dr · Cos α = dr. Здесь, dr в левой части формулы - это модуль бесконечно малого вектора перемещеня, то есть dr = | dr |. А вот dr в правой части формулы - это бесконечно малое изменение модуля вектора r, то есть dr = d | r |.

Итак, мы показали, что r · dr = r · dr. К конечному изменению вектора r эта формула не применима. То есть, в общем случае r · Δ r не равно
r · Δ r. Как видно из рисунка в этом случае АВ и АС могут сильно различаться,
и dr · Cos α не будет равно dr.

Пожалуйста, не забудьте поделиться о прочитанном со своими друзьями в соц. сетях (см. кнопки ниже).

 

x