Векторы. Задачи. Найти скалярное и векторное произведения координатных ортов

 

Задача 5. Найти скалярное и векторное произведения координатных ортов.

Вначале рассмотрим скалярное произведение.

Пусть орты ориентированы друг относительно друга так, как показано на рисунке 21, слева.

Задачи на векторы. Задача 05. Фото

Рис. 21

Координатные орты i, j, k имеют модули, равные единице. Скалярный квадрат вектора, как было показано в задаче 2, равен квадрату его модулябя, поэтому

i · i = i² = 1,  j · j = j² = 1,  k · k = k² = 1. Далее, координатные орты взаимно перпендикулярны, а скалярное произведение перпендикулярных векторов, как было показано в задаче 3, равно нулю, поэтому

i · j = j · i = 0,  j · k = k · j = 0,  k · i = i · k = 0.

Итак, скалярное произведение одноименных координатных ортов равно единице, а разноименных - нулю. То же самое мы получим и для ориентации ортов, представленных на рисунке 21, справа.

Перейдем к векторному произведению.

Векторное произведение вектора самого на себя равно нулю (см. задачу 2). Поэтому

i × i = 0,  j × j = 0,  k × k = 0, то есть векторное произведение одноименных ортов равно нулю.

Теперь рассмотрим векторное произведение разноименных векторов. Обращаю Ваше внимание на то, что мы рассматриваем такую ориентацию ортов, которая представлена на рисунке 21,слева.

В этом случае вектор i × j будет направлен одинаково с вектором k , а вектор j × i – в противоположную сторону. Так как, кроме того,

| i × j | = | j × i | = 1·1· Sin 900 = 1, то мы получим

i × j = k j × i = − k. Аналогично, вычислив произведения двух разноименных ортов, получим следующее:

i × j = k j × i = − k ,

j × k = i k × j = − i,

k × i = j , i × k = − j .

Однако ориентация ортов может быть и такой, как показано на рисунке 21, справа. Несложно вычислить, что получится в этом случае. Я не буду этого делать, потренируйтесь сами.

Замечу лишь, что координатные оси X , Y , Z , связанные с тройками ортов, представленных на рисунках 21, слева и 21, справа, будут представлять собой разные системы координат. Та система, которая представлена ортами рисунка 21, слева, называется правовинтовой системой координат, а другая (рис. 21, справа) - левовинтовой. В физике все изучаемые процессы рассматриваются только в правовинтовой системе. Просто так принято.

Пожалуйста, не забудьте поделиться о прочитанном со своими друзьями в соц. сетях (см. кнопки ниже).