Кинематика. Основные формулы

 

Прежде всего, следует заметить, что речь будет идти о геометрической точке, то есть области пространства, не имеющей размеров. Именно для этого абстрактного образа (модели) и справедливы все представленные ниже определения и формулы. Однако для краткости я в дальнейшем буду часто говорить о движении тела, объекта или частицы. Это я делаю только для того, чтобы Вам легче было читать. Но всегда помните, что речь идет о геометрической точке.

Радиус-вектор точки - это вектор, начало которого совпадает с началом системы координат, а конец - с данной точкой. Радиус-вектор обозначается, как правило, буквой r. К сожалению некоторые авторы обозначают его буквой s. Настоятельно советую не использовать обозначение s для радиус-вектора. Дело в том, что подавляющее большинство авторов (как отечественных, так и зарубежных) используют букву s для обозначения пути, который является скаляром и к радиус-вектору, как правило, отношения не имеет. Если вы будете обозначать радиус-вектор как s, то легко можете запутаться. Еще раз, мы, как и все нормальные люди, будем использовать следующие обозначения: r - радиус-вектор точки, s - путь, пройденный точкой.

Вектор перемещения (часто говорят просто – перемещение) – это вектор, начало которого совпадает с той точкой траектории, где было тело, когда мы начали изучать данное движение, а конец этого вектора совпадает с той точкой траектории, где мы это изучение закончили. Будем обозначать этот вектор как Δr. Использование символа Δ очевидно: Δr – это разность между радиус-вектором r конечной точки изучаемого отрезка траектории и радиус-вектором r0 точки начала этого отрезка (рис. 1), то есть Δr = r r0.

Кинематика. Вектор перемещения. Рисунок

Траектория - это линия, вдоль которой движется тело.

Путь - это сумма длин всех участков траектории, последовательно проходимых телом при движения. Обозначается либо ΔS, если речь идет об участке траектории, либо S, если речь идет о всей траектории наблюдаемого движения. Иногда (редко) путь обозначают и другой буквой, например, L (только не обозначайте его как r, мы уже об этом говорили). Запомните! Путь - это положительный скаляр! Путь в процессе движения может только увеличиваться.

Средняя скорость перемещения vср - это вектор, определяемый выражением

vср = Δr/Δt.

Мгновенная скорость перемещения v - это вектор, определяемый выражением

v = dr/dt.

Средняя скорость пути vср - это скаляр, определяемый выражением

vср = Δs/Δt.

Часто встречаются и другие обозначения, например, <v>.

Мгновенная скорость пути v - это скаляр, определяемый выражением

v = ds/dt.

Модуль мгновенной скорости перемещения и мгновенная скорость пути - это одно и то же, поскольку dr = ds.

Среднее ускорение aср - это вектор, определяемый выражением

aср = Δv/Δt.

Мгновенное ускорение (или просто, ускорение) a - это вектор, определяемый выражением

a =dv/dt.

Касательное (тангенциальное) ускорение aτ (нижний индекс - это греческая строчная буква тау) - это вектор, являющийся векторной проекцией мгновенного ускорения на касательную ось.

Нормальное (центростремительное) ускорение an - это вектор, являющийся векторной проекцией мгновенного ускорения на ось нормали.

Модуль касательного ускорения

| aτ | = dv/dt,

то есть это - производная модуля мгновенной скорости по времени.

Модуль нормального ускорения

| an | = v2/r,

где r - величина радиуса кривизны траектории в точке нахождения тела.

Важно! Хочу обратить внимание на следующее. Не путайтесь с обозначениями, касающимися касательного и нормального ускорений! Дело в том, что в литературе по этому поводу традиционно наблюдается полная чехарда.

Запомните!

aτ - это вектор касательного ускорения,

an - это вектор нормального ускорения.

aτ и an являются векторными проекциями полного ускорения а на касательную ось и ось нормали соответственно,

aτ - это проекция (скалярная!) касательного ускорения на касательную ось,

an - это проекция (скалярная!) нормального ускорения на ось нормали,

| aτ |- это модуль вектора касательного ускорения,

| an | - это модуль вектора нормального ускорения.

Особенно не удивляйтесь, если, читая в литературе о криволинейном (в частности, вращательном) движении, Вы обнаружите, что автор под aτ понимает и вектор, и его проекцию, и его модуль. То же самое относится и к an. Все, как говорится, «в одном флаконе». И такое, к сожалению, сплошь и рядом. Даже учебники для высшей школы не являются исключением, во многих из них (поверьте - в большинстве!) царит полная неразбериха по этому поводу.

Вот так, не зная азов векторной алгебры или пренебрегая ими, очень легко полностью запутаться при изучении и анализе физических процессов. Поэтому знание векторной алгебры является наиглавнейшим условием успеха в изучении механики. И не только механики. В дальнейшем, при изучении других разделов физики, Вы неоднократно в этом убедитесь.

Мгновенная угловая скорость (или просто, угловая скорость) ω - это вектор, определяемый выражением

ω = dφ/dt,

где dφ - бесконечно малое изменение угловой координаты (dφ - вектор!).

Мгновенное угловое ускорение (или просто, угловое ускорение) ε - это вектор, определяемый выражением

ε = dω/dt.

Связь между v, ω и r:

v = ω × r.

Связь между v, ω и r:

v = ω · r.

Связь между | aτ |, ε и r:

| aτ | = ε · r.

Теперь перейдем к кинематическим уравнениям конкретных видов движения. Эти уравнения надо выучить наизусть.

Кинематическое уравнение равномерного и прямолинейного движения имеет вид:

r = r0 + v t,

где r - радиус-вектор объекта в момент времени t, r0 - то же в начальный момент времени t0 (в момент начала наблюдений).

Кинематическое уравнение движения с постоянным ускорением имеет вид:

r = r0 + v0 t + at2/2, где v0 скорость объекта в момент t0 .

Уравнение для скорости тела при движении с постоянным ускорением имеет вид:

v = v0 + a t.

Кинематическое уравнение равномерного движения по окружности в полярных координатах имеет вид:

φ = φ0 + ωz t,

где φ - угловая координата тела в данный момент времени, φ0 - угловая координата тела в момент начала наблюдения (в начальный момент времени), ωz - проекция угловой скорости ω на ось Z (обычно эта ось выбирается перпендикулярно плоскости вращения).

Кинематическое уравнение движения по окружности с постоянным ускорением в полярных координатах имеет вид:

φ = φ0 + ω0z t + εz t2/2.

Кинематическое уравнение гармонических колебаний вдоль оси X имеет вид:

х = А Cos (ω t + φ0),

где A - амплитуда колебаний, ω - циклическая частота, φ0 - начальная фаза колебаний.

Проекция скорости точки, колеблющейся вдоль оси X, на эту ось равна:

vx = − ω · A · Sin (ω t + φ0).

Проекция ускорения точки, колеблющейся вдоль оси X, на эту ось равна:

аx = − ω2 · A · Cos (ω t + φ0).

Связь между циклической частотой ω, обычной частотой ƒ и периодом колебаний T:

ω = 2 πƒ = 2 π/T ( π = 3,14 - число пи).

Математический маятник имеет период колебаний T, определяемый выражением:

Кинематика. Формула периода математического маятника.

В числителе подкоренного выражения - длина нити маятника, в знаменателе - ускорение свободного падения

Связь между абсолютной vабс, относительной vотн и переносной vпер скоростями:

vабс = vотн + vпер.

Вот, пожалуй, и все определения и формулы, которые могут понадобиться при решении задач на кинематику. Приведенная информация носит только справочный характер и не может заменить электронную книгу, где доступно, подробно и, надеюсь, увлекательно изложена теория этого раздела механики.

Пожалуйста, не забудьте поделиться о прочитанном со своими друзьями в соц. сетях (см. кнопки ниже).